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欧拉函数

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欧拉函数

euler

在数论中，对正整数$n$，欧拉函数$\phi(n)$是小于或等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目。

求单个数的欧拉函数值时间复杂度可以为$Olog_2n$，代码如下:

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LL euler(LL n) {
    LL ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ans-=ans/n;
    return ans;
}

素数n的欧拉函数值是n-1

下面是一个用到上述函数的题目
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1003 - 不是签到题XD

小明是一个贪心的孩子，他天天想着怎么让自己省钱。有一天他去商店买物品，然而他不是普通人，他有一个马基雅把库内的能力，可以只花掉商品价格与他今日幸运数字x的最大公约数的钱就能买走这个商品。那么问题来了，如果他要买价值从1到 x 元的 x 个商品，一共要花掉多少钱。

输入

输入包含一个整数，代表小明今日的幸运数字 x 。

输出

请输出小明的花费

样例

样例1的输入:

1
1

样例1的输出:

1
1

样例2的输入:

1
2

样例2的输出:

1
3

样例3的输入:

1
3

样例3的输出:

1
5

提示

$1\leq x \leq 10^{11}$

题解如下

本题化简公式如下:

$$
\sum_{i=1}^ngcd(i,x)=\sum_{k|x}k\phi(\frac{x}{k})
$$

还有一些小细节，可以在$O(\sqrt{n}\log_2n)$时间复杂度内求解。

代码如下

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#include<iostream>
#include<map>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<list>
#include<climits>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<climits>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<iomanip>
using namespace std;
#define LL long long
LL euler(LL n) {
    LL ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ans-=ans/n;
    return ans;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    LL n;
    while(cin>>n){
        LL ans=0;
        for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){
            if(n%i==0) {
                ans+=euler(n/i)*i;
                if(n!=1) ans+=euler(i)*(n/i);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}